2006年04月16日

しゅんすけの愛した数式。

部屋を借りる時に、不動産屋から貰う資料ってあるじゃない。
簡単な図面が書いてあって、「○○u、駅近、バストイレ別」とか。
しゅんすけは既にアンドロメダ級の住宅ローンを背負ってしまったので
そういう広告を手にすることはないんだけど、
仕事上ちょっと触れたりすることがある。

そんな時、部屋の面積は記載されているものの、
実際どのくらいの寸法なのか分からないわけで、
レイアウトを考えるには、ちょっと困るわけだ。
ま、広告の図面なんか結構いい加減なんだろうけど、
それでも縦・横の寸法が分かれば、とても助かるんだよね。
このいい加減な図面と記載されている面積から、寸法を出すことは可能か。
いい加減な図面だから、いわゆる近似値でいいわけで、
図面に定規を当てて、全体の比率から実際の寸法を求めても
差し支えないわけよ。

かなりの誤差を許容するなら、しゅんすけの拙い算数の知識でも
分かるかもしれないと、図面に定規を当てながら
あーでもないこーでもないと電卓を叩いていたところ、
ふと、思いついた算式がある。

公式というわけじゃないけど、
これって、覚えておいた方がいいかもしれないと思い、
備忘録的に記載しておくことにしました。

setumei-zu01.JPG

不動産屋から提示された図面には、面積は記載されているので、
仮にこんな感じで設定できます。
知りたい寸法・縦=x
知りたい寸法・横=y
実際の面積=z(例=25u)
とします。
面積は縦×横で求められるので、x×y=zと言えるわけだ。

んで、今度は図面上の寸法を計ってみる。
(部屋はいろいろな形があるけど、台形なら台形の面積公式、
三角形なら三角形の面積公式があるので、この辺はアレンジだな)

図面上の寸法・縦=a(例=2p)
図面上の寸法・横=b(例=5p)
図面上の面積=c(例=10cu)
a×b=c(2×5=10)

setumei-zu02.JPG

さてさて、提示された情報と欲しい情報は揃いました。
どうせ近似値なので、比率で求められればいいんだけど、
a:x=c:z、またはb:y=c:z
は成り立たないんだな。
2:x=10:25、x=5
5:y=10:25、y=12.5となり、
5(x)×12.5(y)=25(z)にはならないもんね。
※算数苦手なしゅんすけにはよう分からんが、
掛け算を施しているので、比率が合わなくなるんだな。
(なんかバカっぽさをアピールしてる感じで情けない)

しゅんすけの知識では、この程度だったんだけど、
うまくいく方法が思いついたのです。
ユリイカ!
↑言ってみたかったな、このセリフ。

図面上の面積(c)も実際の面積(z)も、
少なくとも面積の公式、縦×横があてはまるわけよね。
ここでとりあえず暫定の縦、横として、√c、√zとしても式は成り立つわけだ。
√c×√c=c、√z×√z=z。
√cも√zも暫定とはいえ、両者の比率は、図面上の寸法と実際の寸法の関係だから
この両者の比率に図面上の寸法(a、b)を掛ければ、
実際の寸法、つまり知りたい寸法が出てくるわけだ。

というわけで、以下の公式が求められる、と。
√z÷√c×a=x(知りたい寸法・縦)
√z÷√c×b=y(知りたい寸法・横)

これで、x×y=zになってくれればOKで、
嬉しいことに結果的に同じ数字になることが確認できた。
(補稿参照)
これで、縮尺が分からない図面を前にしても、提示された全体の面積から
各寸法を割り出すことができるぞ。

おおー、なんか数学を解いた感覚だ。
高校以来数学を解くということはなかったけど、こういう感覚なのかな。
ホントの数学者が頭を悩ませている数学とは、桁違いに初歩的なんだろうけど、
そんな疑似体験ができた感じでちょっとウレシイです。
しゅんすけの拙い算数も、ここまで追いついたって感じか。
(っていうか、しゅんすけの仕事柄、こういう計算方法を会得できたのは
業務の効率化という実際的な側面が強いんだけどね)
※とは言え、数学が分かる人に言わせると、全然スゴいコトじゃなくて、
3+4=7を7=2+5だと証明できた程度のことなのかもしれんが。

数学の証明では、いろんなタイプがあるそうで、
モノによっては、自らが「解く」というよりも、
意図しないのに証明がどんどん進んでしまい、
結果的に証明できてしまうということがあるんだそうな。
「解く」というより「解かされる」「分からされる」というか。
そういう時、数学者はとても謙虚な気分になるんだそうな。
自分の能力とは別の数学世界の巨大な構造を垣間見たような、
人知を超えた知性を見たような感覚になるんだそうで、
それは宗教における謙虚さ(神の前では誰しも謙虚になる)と似た感覚なんだそう。
また一方、大きな証明過程の中で、小さなほころびを修正しながら
ゴリゴリ思考を進めるような証明もある。
しゅんすけの読んだフェルマーの最終定理(またかよの感ですが)では
一旦結論を見た一連の証明の中に、小さなほころびが見つかり、
それを修正するために、新たな数学的知見が動員されるという顛末だった。
まるで、真っ暗な部屋を手探りで進み、やっと照明のスイッチを探り当てて、
スイッチを入れると自分の周りだけが明るくなって、さらに先には暗闇が広がり、
手探りで暗闇に踏み込むような感覚。

比較するのもおこがましいけど、今回のしゅんすけの証明(?)は
後者の感じだった。
結論に向けて、いろんな可能性を試しながら、ジャングルに道を作るように
進めてきた感じだった。
でも、やっぱり解き切った感覚は気持ちいいものである。
このツールが、しゅんすけの数学的感性に寄与してくれるといいけどね。
※特に、c=a×bをc=√c×√cと置き直せたところが気持ちいい。

※そうそう、この一見何の得にもなりそうもない数学的感性ってのが
数学の究極の目的のような気もするな。
フェルマーの最終定理を解いたところで、その命題自体から何か発展したわけ
じゃないけど、証明の中のノウハウは、
数学界に確実に変化をもたらしたわけだからね。

補稿:
例にある数値を整理すると、以下のとおり。
a=2、b=5、c=a×b=10
x=?、y=?、z=x×y=25
√z÷√c×a = √25÷√10×2 = 5÷3.16228×2=3.16228(x)
√z÷√c×b = √25÷√10×5 = 5÷3.16228×5=7.90569(y)
故に、x=3.16m、y=7.91mとなる。
試しに、x×y=3.16×7.91=24.9956(z)となる。
posted by しゅんすけ at 20:56| Comment(0) | TrackBack(0) | 日記 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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